Diseño y construcción de filtros pasabajos de 2º orden

por Julián Segarra Esbrí de Chert

Exposición de motivos.-

      En algún momento de la vida de cualquier radioaficionado puede ocurrir que un amigo o vecino nos regale su receptor. Esto suele suceder porque con la adquisición de un modelo nuevo, no se sabe qué hacer con el viejo y a quienes sentimos verdadera afición por la radio, todo nos es de utilidad aunque sea para piezas de desguace.

      Cuando dispongamos del juguete, probablemente nos sentiremos como niños, si tiene onda corta, seguro que conectamos la antena y la banda recorriendo el dial.

      Hasta la década de los setenta fue posible captar emisiones de radioaficionado con uno de estos receptores musiqueros con pocas modificaciones que introdujésemos a la entrada y en el oscilador de frecuencia variable, pero en la actualidad con la proliferación de los equipos comerciales, como no añadamos un oscilador local y un detector de producto, no oiremos gran cosa.

      Quien en alguna ocasión haya convertido un receptor de AM en receptor de SSB ó CW, habrá observado que al inyectar la señal del oscilador local se produce un aumento de sonoridad en el altavoz, sonoridad que no es más que ruido o soplido en altas frecuencias de la zona del espectro de audio. Este efecto el lógico en "los musiqueros" ya que están fabricados para oír música y no para escuchar la información hablada que nosotros pretendemos, debiendo manipular continuamente el potenciómetro de la voz cuando pasamos de un modo de recepción a otro.

      ¿Has pensado alguna vez qué ocurriría si colocases un filtro pasabajos entre la salida del detector de producto y la entrada del amplificador de baja frecuencia?.

      El presente artículo permite diseñar y construir un filtro pasabajos de segundo orden y ganancia unidad a medida de nuestras necesidades, tanto para emisión como para recepción en banda lateral y para cualquier aplicación que nuestra mente pueda imaginar, a un precio de risa, con un tamaño miniatura no superior al de una cajita de cerillas y con un funcionamiento excelente.

El amplificador operacional.-

      Los amplificadores operacionales se diseñaron para efectuar operaciones matemáticas en computadoras analógicas, pero su versatilidad nos permite utilizarlos en muchas aplicaciones de innumerables circuitos electrónicos.

      La gran mayoría de ellos son de entrada diferencial, representándose con esta simbología. Generalmente presentan una impedancia para cada uno de sus terminales de entrada de un megaohmio y una salida de varios centenares de ohmios, siendo su amplificación en tensión a baja frecuencia del orden de 100.000 veces, es decir, 100 decibelios y para obtener una buena estabilidad se han fabricado de manera que su ganancia en ciclo abierto vaya disminuyendo al aumentar la frecuencia, obteniéndose una curva de respuesta que desciende 6 decibelios por octava, lo que equivale a 20 decibelios por década.

      Si pretendemos utilizar el operacional en un circuito amplificador en ciclo cerrado, el ancho de banda del circuito dependerá de la ganancia. Cuando la ganancia es de 60 decibelios, su ancho de banda será solo de 1 kilohertz, pero si le doy una ganancia de 20 decibelios, podré aumentar el ancho de banda a 100 kilohertz.

      Para su correcto funcionamiento, los circuitos integrados operaciones exigen el empleo de dos fuentes de alimentación a poder ser equilibradas o simétricas. Sin embargo, el empleo de tales alimentaciones equilibradas no es indispensable, pudiéndose utilizar alimentaciones no equilibradas en aquellas ocasiones en que no es necesario obtener la máxima señal simétrica posible entre pico y pico de salida.

      En el caso que me ocupa usaré las dos alimentaciones a partir de una fuente única conectando entre los bornes un divisor de tensión resistivo y utilizando la unión de ambas resistencias como punto de señal común, obteniéndose así una línea de positivo y otra de negativo. En aplicaciones para corriente continua, los valores de estas resistencias han de elegirse de modo que la corriente en reposo que pase por ellas sea mucho mayor que la corriente de pico de salida del circuito operacional, pues de hecho, estas resistencias se hallan en serie con la salida del mismo.

El amplificador operacional µA 741.-

      En el mercado se encuentran con facilidad muchos tipos de amplificadores operaciones, algunos han sido diseñados para obtener parámetros excepcionales a altas frecuencias, otros para presentar impedancias de entrada elevadísimas, otros para ser térmicamente muy estables y algunos de ellos simplemente para uso general.

      De entre todos, el que utilizo frecuentemente es el µA 741, un amplificador operacional de segunda generación.

      Entre sus características destaca que es inmune al bloqueo de entrada, tiene protegida su salida contra cortocircuitos, lleva incluida compensación de frecuencia, lo que equivale a no tener inestabilidad y su ancho de banda para ganancia unidad es de 1MHz.

      Si procede se puede adaptar una compensación externa de descentrado conectando un potenciómetro de unos 10.000 ohmios entre sus dos terminales de puesta a cero uniendo el cursor a la línea de negativo. En cualquier caso sus características se pueden encontrar en la bibliografía correspondiente, pero para hacernos una idea, bastará saber que en su interior hay nada menos que 24 transistores.

El filtro pasabajos.-

      El filtro pasabajos es el que permite atravesar por él todas las frecuencias inferiores a una llamada de corte que se define como la frecuencia a la que la señal de salida desciende 3 decibelios con respecto a la de entrada.

      Dentro del mundillo de las comunicaciones radioeléctricas, este tipo de filtros se están utilizando por sus ventajas demostradas como supresores de armónicos, pero yo pretendo utilizarlo en el espectro de bajas frecuencias con similar resultado.

      Los filtros pasabajos pueden ser de primer orden cuando su curva característica presenta una pendiente de 6 decibelios por octava por encima de la frecuencia de corte, de segundo orden o grado si reducen su amplificación 12 decibelios por octava que aumenta la frecuencia, o lo que es lo mismo, 40 decibelios por década. Como me interesa una curva de respuesta lo más ideal posible, en la que su derivada sea grande, es decir, su pendiente sea elevada, elegiré un filtro de segundo grado. Por otro lado como pienso que es igual de engorroso tener que manipular el potenciómetro de la voz tanto para aumentarla como para disminuirla al insertar el filtro, lo diseñaré con una ganancia unidad.

      Para la realización de este filtro pretendo hacer trabajar el circuito integrado operacional como amplificador selectivo de frecuencia a base de incluir en su bucle de realimentación redes reactivas constituidas por resistencias y condensadores realizando lo que se denomina filtro pasabajo. Filtro activo cuya ganancia puede ser superior a uno e imposible de conseguir dentro de la banda pasante con componentes pasivos.

      Toda la información verbal inteligible se transmite a unas frecuencias comprendidas entre 300 y 3.000 hertzios, poniendo el mayor énfasis en las frecuencias próximas a 1KHz. Como quiera que en banda lateral se utilizan filtros de cuarzo del orden de 2'5 KHz. y al alejarnos de estas frecuencias a la voz solo se le da musicalidad y timbre que permite poder diferenciar el habla de cada persona pero que carece de interés informativo, voy a elegir ésta como frecuencia aproximada de corte, para ello, estudiaré una etapa y la optimizaré posteriormente.

      De la información bibliográfica que dispongo sobre este tipo de filtros pasabajos de segundo orden y con ganancia unidad, compruebo que el montaje eléctrico responde al esquema adjunto y la curva de respuesta parecida a la gráfica anterior, pero todas las ecuaciones que poseo y que relacionan la frecuencia de corte del filtro con los valores de las resistencias y condensadores que intervienen en el circuito, no hay ninguna fácil que se acerque a la realidad y las que se aproximan por casualidad, son complicadísimas, interviniendo en ellas unas constantes difíciles de recordar. Quiero suponer que dispongo de copias de personajes que copian a copiones que copian sin experimentar, perdiendo la información en las propias copias.

      Todos los articulistas coinciden en que para filtros pasa bajos de segundo orden con ganancia unidad R1 es igual a R2, pero para unos C1 es igual a 2C2 y para otros C2 es igual a 2C1.

      Para aclarar esta discrepancia no hay nada mejor que comprobar. Tanteo varios valores para los componentes electrónicos utilizados en el circuito y observo los resultados obtenidos en cinco casos diferentes que, manteniendo constantes los valores de R1=R2=100Kohmios y C2=470pF cambio el condensador C1.

C1= 220pF      R1=R2= 100Kohmios       C2= 470pF

C1= 470pF      R1=R2= 100Kohmios       C2= 470pF

C1= 1nF           R1=R2= 100Kohmios       C2= 470pF

C1= 1n5F        R1=R 2= 100Kohmios       C2= 470pF

C1= 2n2F        R1=R2= 100Kohmios       C2= 470pF

      Así estudio el comportamiento de la curva de respuesta para cada uno de los valores de los condensadores utilizados en los que C1=C2/2, C1=C2, C1=2C2, C1=3C2 y C1=4C2, disponiendo de esta forma una visión real y observando cada una de ellas, compruebo que la mejor obedece a un circuito del tipo R1=R2 y C1=2C2.

        En las gráficas de respuesta, los primeros circuitos introducen una atenuación a partir de muy bajas frecuencias, lejos de la frecuencia de corte y los últimos, careciendo de linealidad, incrementan la ganancia para ciertas frecuencias. Por consiguiente, dirigiré el estudio a circuitos del tipo indicado combinando los valores de las resistencias y condensadores adecuadamente.

El experimento.-

      Después de realizar el circuito correspondiente y someterlo a experimentación, observo que la pendiente de la curva aumenta al disminuir la frecuencia de corte de forma lógica puesto que este tipo de filtros producen una atenuación de 12 decibelios por octava, aumentándose una octava cuando se dobla la frecuencia, es decir, dos frecuencias se encuentran separadas una octava cuando la mayor de ellas es doble que la más pequeña.

      Una vez comprobado el comportamiento del circuito relaciono la inversa del producto del valor de R·C donde R=R1=R2 y C=C1=2C2 con la frecuencia de corte, encontrando una variación casi lineal en la que 1/R·C=ƒFCr, siendo esta relación K una constante aproximada para cada caso y que obtengo como media aritmética de todas las pendientes de las rectas en las gráficas confeccionadas.

K =   3'83 + 4'59 + 4'87 + 4'83 + 4'69 + 4'85 + 4'29 + 4'48 + 4'52 + 4'59 + 4'17 + 3'85   = 4'44

12 (valores gráficos)

      por consiguiente:      1 / R·C = 4'44 FCr.

      Ahora también aparece una constante en esta ecuación pero con la diferencia que en este caso no es una constante cualquiera sino el resultado de un largo y laborioso estudio, aunque reconozco su inconveniente por la dificultad en ser fácilmente recordable.

      Sabiendo que 4'44 es un número aproximativo y para hacer más folclórica la ecuación utilizando el número π se me ocurre dividir 4'44 por π, obteniendo el valor de 1'41 y puesto que 1'41 corresponde con el valor de , puedo sustituir tranquilamente 4'44 por el producto de π · con lo que ahora si tengo una ecuación de mayor facilidad en cuanto a retención memorística.

      Luego:      1 / R·C = π · · FCr.

      Reconozco que ahora la ecuación es un poco tarambana, puesto que π no pinta para nada, pero nadie me negará que al margen de cualquier floritura es un número que todos tenemos en la mente, recordándolo con facilidad, por consiguiente podré reagrupar los términos y disponer de la "Ecuación de Tarambana" para el cálculo de filtros pasabajos de segundo orden sin pérdida de inserción.

La Ecuación de Tarambana.-

      Al reagrupar los términos de la "Ecuación de Tarambana" para el cálculo de filtros pasabajos de segundo orden obtengo como valor de la frecuencia de corte.

FCt = 1 / R C π

      Según la Ecuación de Tarambana la frecuencia de corte teórica de un filtro pasabajos de segundo orden y con ganancia unidad, es aproximadamente igual a la inversa de π veces raíz cuadrada de dos del producto de la resistencia y de la capacidad utilizada en el circuito en el que R=R1=R2 y C=C1=2C2.

      También puede interesarme obtener el valor de la resistencia a emplear:

R = 1 / FCt C π

      Según la Ecuación de Tarambana el valor de la resistencia en un filtro pasabajos de segundo orden y con ganancia unidad, es aproximadamente igual a la inversa de π veces raíz cuadrada de dos del producto de la frecuencia de corte teórica y de la capacidad utilizada en el circuito en el que R=R1=R2 y C=C1=2C2.

      O puedo precisar conocer la capacidad a utilizar en el circuito diciendo:        

C = 1 / FCt R π

      Según la Ecuación de Tarambana el valor de la capacidad en un filtro pasabajos de segundo orden y con ganancia unidad, es aproximadamente igual a la inversa de π veces raíz cuadrada de dos del producto de la frecuencia de corte teórica y de la resistencia utilizada en el circuito en el que R=R1=R2 y C=C1=2C2.

      En cualquier caso y para facilitar los cálculos la frecuencia de corte teórica FCt viene medida en su unidad fundamental, el Hertzio, la resistencia R también en su unidad el Ohmio y el valor de los condensadores, como corresponde a una buena ecuación, se medirán en Faradios, unidad de carga eléctrica.

      Tengo que reconocer que la "Ecuación de Tarambana" es una ecuación caprichosa, pero a la vez reúne unas cualidades excepcionales como son la simplicidad y la facilidad de retención en la memoria y por si eso pareciese insuficiente, su aproximación puede asombrar a cualquiera. Después de dibujar cada una de las gráficas experimentales, he calculado el valor de la frecuencia de corte teórica obtenida aritméticamente con la "Ecuación de Tarambana" para cada pareja de valores de resistencias y condensadores empleados en el experimento comparándola con el valor de la frecuencia de corte real y teniendo en cuenta que en la confección del estudio se emplearon componentes electrónicos de los que habitualmente se encuentran en el mercado, no contrastados, con tolerancias inherentes que seguro poseen y que para el fabricante pueden alcanzar el 20% sin preocuparse en eliminarlos de la venta, compruebo con alegría que la desviación entre las frecuencias de corte real y teórica no alcanza en ningún caso este porcentaje, en la mayoría de las ocasiones se encuentra por debajo de 10%, en ningún caso supera el 15% y en algunos es inferior al 1%.

Tabla de frecuencias.-

      A continuación indico la tabla de frecuencias de corte obtenidas experimentalmente para filtros pasabajos de segundo orden en función de los valores de resistencia y condensador utilizados en el circuito donde R=R1=R2 y C=C1=2C2. Las gráficas no se incluyen por haber realizado muchas experiencias y ser excesivas en número.

      Debo advertir que para cada montaje con componentes electrónicos diferentes, se obtendrán unos resultados diferentes, puesto que no todos los elementos que se fabrican poseen el mismo valor o el mismo error sobre el valor nominal, pero siempre se tendrán resultados próximos a los que yo he obtenido en mis experimentos.

Resistencia R   47KΩ 56KΩ 68KΩ 82KΩ 100KΩ 120KΩ 150KΩ 180KΩ
Condensador C
360pF. ---- ---- ---- ---- ---- ---- 3625Hz. 3400Hz.
440pF. ---- ---- ---- ---- ---- ---- 3300Hz. 2950Hz.
540pF. ---- ---- ---- ---- ---- 3480Hz. 2780Hz. 2375Hz.
660pF. ---- ---- ---- 4025Hz. 3400Hz. 2900Hz. 2200Hz. 1900Hz.
780pF. ---- ---- 3950Hz. 3325Hz. 2875Hz. 2375Hz. 1750Hz. 1480Hz.
940pF. ---- 4000Hz. 3400Hz. 2850Hz. 2410Hz. 1925Hz. 1450Hz. 1200Hz.
1120pF. ---- 3600Hz. 2950Hz. 2475Hz. 2075Hz. 1600Hz. 1275Hz. ----
1360pF. 3825Hz. 3275Hz. 2775Hz. 2200Hz. 1880Hz. 1400Hz. ---- ----
1640pF. 3360Hz. 2850Hz. 2375Hz. 1750Hz. 1525Hz. ---- ---- ----
2000pF. 2350Hz. 1950Hz. 2375Hz. 1200Hz. ---- ---- ---- ----
2400pF. 1900Hz. 1525Hz. 1550Hz. ---- ---- ---- ---- ----
3000pF. 1550Hz. ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
3600pF. 1470Hz. ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----

El Resultado.-

      Ahora que teniendo una idea, se por donde empezar a ejecutarla, ya puedo llevar a buen término mi intención inicial que no es otra que la de diseñar y construir un filtro para baja frecuencia en banda lateral, filtro activo de aplicación tanto en emisión como en recepción.

      En la existencia casera de componentes electrónicos, veo que dispongo de resistencias de 100 KΩ y condensadores de 1nF y 470 pF. Si utilizo estos componentes podré construir un filtro pasabajos de segundo orden sin pérdida de inserción (con ganancia unidad), pero ... ¿cual será la frecuencia aproximada de corte?. 

      Para saber por donde va a empezar a recortar el filtro y tener la seguridad de que ni me paso, ni me me quedo corto de frecuencia, es para lo que tengo la Ecuación de Tarambana y aplicándola al circuito, por su cálculo sabré de mi aproximación sin necesidad de su realización.

      Dado que R=R1=R2=100KΩ y C=C1=1nF, C/2=C2=470pF, según la Ecuación de Tarambana:

FCt = 1 / 100000 · 0'000000001 · π · = 2250 Hz.

      Como esta frecuencia me agrada, voy a realizar el circuito electrónico y probarlo con los siguientes componentes:

R=R1=R2=100KΩ, C=C1=1nF, C/2=C2=470pF

      Se observará que C2 no es exactamente igual a la mitad de C1. Podría utilizar dos condensadores como C1 puestos en serie, pero no voy a ser tan mentecato cuando utilizo componentes con tolerancias de 20% y no importándome excesivamente la frecuencia exacta de corte. Estos errores de diseño los puedo admitir simplificando el correspondiente circuito, que una vez realizado lo someto a prueba y obtengo una curva de respuesta en la que FCr es igual a 2175 Hz.

      Desde su fabricación estoy utilizando este filtro en un receptor de construcción propia con frecuencia intermedia de 455 KHz. en el que puse un filtro cerámico doble del tipo Murata SFD-455, mejorando la selectividad y reduciendo el ancho de banda a 4KHz. con lo que su calidad de recepción se vio notablemente mejorada, no obstante, si alguien considera este filtro pasabajos excesivamente estrecho, puede experimentar utilizando los siguientes componentes: R=R1=R2=82KΩ, C=C1=1nF, C/2=C2=470pF que ofrecen una frecuencia de corte FCr  = 2575Hz.

      Si interesase un filtro de banda pasante mayor podría fabricarse con los siguientes valores de componentes: R=R1=R2=100KΩ, C=C1=820pF, C/2=C2=390pF que permiten una frecuencia de corte FCr  = 2875Hz.

      En cualquier caso, un circuito con el esquema siguiente podría variar la frecuencia de corte entre 5000Hz. y 1500Hz. en caso de necesitar un filtro pasabajo de frecuencia de corte variable.

      Para quien piense que se puede mejorar la respuesta de un filtro pasabajo de segundo orden colocando varios filtros en serie, acompaño una gráfica sobre el comportamiento de cuatro filtros utilizando un integrado del tipo LM 324, donde se comprueba la no existencia de mejora digna de interés teniendo en cuenta lo aparatoso del circuito comparado con el de un solo paso.

R=R1=R2=100KΩ, C=C1=1nF, C/2=C2=470pF  FCr  = 1325Hz.

R=R1=R2=100KΩ, C=C1=820pF, C/2=C2=390pF  FCr  = 1800Hz.

R=R1=R2=100KΩ, C=C1=680pF, C/2=C2=330pF  FCr  = 2275Hz.

  El Circuito.-.

      Para quien desee experimentar le indico el esquema eléctrico, la placa de circuito impreso, la ecuación y diagrama de respuesta del filtro pasabajos de segundo orden por mi construido.

  

Tamaño 1:1

+ Positivo de alimentación.

- Negativo de alimentación.

E Entradas de B.F. al filtro.

S Salida de B.F. del filtro.

M Masa.

  

  

      La ejecución de este montaje, pienso que es tarea facilona. A poco que se cuide la correcta colocación de los componentes y se efectúen buenas soldaduras, el funcionamiento está garantizado de por vida, en caso contrario, repásese el circuito, seguro que algo se ha ubicado erróneamente, por tanto, no atolondrarse en su realización.

      Yo lo tengo instalado a la salida del mezclador de la señal del oscilador local con la de la frecuencia intermedia, en la toma de conexión del potenciómetro de la voz y éste a su vez lo conecté a la salida del filtro; no uso un conmutador exprofeso, sino el mismo de SSB, puesto que cuando conmuto el oscilador local ya queda conectado el filtro. Al rato de su utilización te percatas se la maravilla, eliminando el continuo control del mando del volumen y deseas tenerlo siempre enchufado.

      Como en cualquier montaje de B.F. utilícese cable apantallado tanto para la entrada como a la salida del filtro, pudiéndose alimentar la unidad a 9, 12 ó 15 voltios sin miedo a estropearla.

© Copyright Lo Lleó del Maestrat. - 1989

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